3、概率论——古典概率模型

条件

• 有限个样本点
• 等可能性

$$
P(A) = \frac{A的有利的样本点}{全集样本点总数}=\frac{A中包含的基本事件数}{基本事件总数}
$$

排列知识点温习

1）不重复排列

从n个不同元素取m个不同元素排列

$$
\begin{flalign}
&P_{n}^{m}=n\times(n-1)\times(n-2)\times…\times(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \\\
&P_{10}^{5}=10\times9\times8\times7\times6&
\end{flalign}
$$

全排列

$$
\begin{flalign}
&P_{n}^{n}=n\times(n-1)\times(n-2)\times…\times1=n! \\
&P_{2}^{2}=2!=2 \\
&P_{1}^{1}=1!=1 \\
&0!=1 \\
&证明：\\
&1)\ m!=m\times(m-1)! \\
&10!=10\times9! \\
&1!=1\times0!=1 \\
&2)\ P_{0}^{0} = 1：解释你在0个同学中选择0个同学的方案为1，即为1个都不选 \\
&3)\ P_{n}^{n}=\frac{n!}{(n-m)!}=\frac{n!}{0!}=n!,,因此0!=1。&
\end{flalign}
$$
解释
$$
\begin{flalign}
&5^{0}=1,还有0^0无意义 \\
&1)5^0=5^{1-1}=\frac{5^1}{5^1}=1 \\
&2)0^0=0^{1-1}=\frac{0}{0},除数为0无意义&
\end{flalign}
$$

2）重复排列

从n个不同元素取出m个元素
$$
n\times n\times n\times….\times n=n^m \\
$$
从n个不同元素取出m个不同元素
$$
C_{n}^{m}=\frac{P_{n}^{m}}{m!}=\frac{n\times (n-1) \times\ …\ \times (n-m-1)}{m\times (m - 1) \times…\times2 \times 1}=\frac{n!}{m!(n-m)!}
$$
记得公式
$$
\begin{flalign}
&C_{n}^{m}=C_{n}^{n - m} \\
&C_{100}^{90}=C_{100}^{10},解释：你在100个同学里面选择10个人上台和在100人里面选择90人不上台是一个道理 \\
&C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=1&
\end{flalign}
$$

3）例题

$$
\begin{flalign}
&例题1：5白4黑，任取3球，求下面事件发生概率：\\
&1)\ 2\ 白\ 1\ 黑 \\
& \frac{C_{5}^{2} * C_{4}^{1}}{C_9^{3}} \\
&2)\ 没黑球 \\
&\frac{C_5^3}{C_{9}^{3}} \\
&3)颜色相同 \\
&\frac{C_5^3 + C_4^3}{C_9^3} or 1\ -\ \frac{C_5^2C_4^1}{C_9^3}\ - \ \frac{C_5^1C_4^2}{C_9^3}&\\
&
\end{flalign}
$$

$$
\begin{flalign}
&例题2：a白b黑，连续取m个（1\le m \le \ a + b），求第m次是白球的概率 \\
&法一：P=\frac{a(a+b-1)!}{(a+b)!}=\frac{a}{a+b} \\
&解释：先将所有的球排序好，一共是(a+b)!种情况，然后再求第m次取白球的情况 \\
&法二：P=\frac{a\times P_{a+b-1}^{m-1}}{P_{a+b}^m}=\frac{a}{a+b} \\
&法三：P=\frac{a}{a+b} \\
&解释：现在有a个男生和b个女生抢座坐，一共就是m个座位，因为是连续坐所以我们并不知道哪个座位是 \\
&第m个座位，我们就可以假设是第1个坐下的，那么就是直接计算a+b中取一个男生坐下的概率。&
\end{flalign}
$$

性质

• 非负性 0<=P(A)<=1

• 规范性
  $$
  P(\Omega)=1 \\
  P(\phi)=0
  $$

• 有限可加
  $$
  \begin{flalign}
  &A_1,A_2,…,A_n互不相容 \\
  &P(A_1+A_2+…+A_n)=P(A_1)+P(A_2)+…P(A_n)&
  \end{flalign}
  $$

缺点

• 有限个结果
• 每种结果等可能性